Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{16}{x}$ , $y = x$ , $y = \frac{x}{4}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{16}{x} = x$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{16}{x} = x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{16}{x} = x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{16}{x} = x$ par $x$ .

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{x} \cdot x = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x \cdot x + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$16 = x^{2} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} = 16$ .

$x^{2} = 16 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}} + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = \pm 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.2.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

$x = 4, - 4 + y = x$

$y = \frac{x}{4}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = 4 y = \frac{4}{4}$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4$

Étape 1.4

Remplacez $x$ par $4$ dans $y = \frac{4}{4}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{4}$

Étape 1.4.2

Divisez $4$ par $4$ .

$y = 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 4$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$y = - 4 y = \frac{- 4}{4}$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4$

Étape 1.6

Divisez $- 4$ par $4$ .

$y = - 1$

Étape 1.7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

$(4, 1)$

$(- 4, - 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} x d x - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 4$ et $4$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 4}^{4} x - (\frac{16}{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{16}{x}$ .

$\int_{- 4}^{4} x - \frac{16}{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{4} x d x + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - \frac{16}{x} d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} \frac{16}{x} d x$

Étape 3.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - (16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.7

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 \int_{- 4}^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.8

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{4} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $4$ et sur $- 4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| x |)]_{- 4}^{4})$

Étape 3.9.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $4$ et sur $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3

Simplifiez

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Étape 3.9.1.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 3.9.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.1.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.3.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$8 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.5

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$8 - 16 (\frac{1}{2}) - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.6

Associez $- 16$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 16}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 3.9.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 + \frac{- 8}{1} - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.7.2.4

Divisez $- 8$ par $1$ .

$8 - 8 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.8

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0 - 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.1.3.9

Soustrayez $16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$ de $0$ .

$- 16 (\ln (| 4 |) - \ln (| - 4 |))$

Étape 3.9.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 16 \ln (\frac{| 4 |}{| - 4 |})$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{| - 4 |})$

Étape 3.9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 4$ et $0$ est $4$ .

$- 16 \ln (\frac{4}{4})$

Étape 3.9.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- 16 \ln (1)$

Étape 3.9.3.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 16 \cdot 0$

Étape 3.9.3.5

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0$

Étape 4