Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 e^{x}}$

Étape 1.3

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 2$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

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Étape 1.3.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 2$ retiré.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.3

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 2$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{- 2 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 e^{x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 e^{x}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{- 2 e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (- 2 e^{x})}$

Étape 5.2

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{x})}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x (e^{x})}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot 0$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 7.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$0$