Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 1.3

Comme la fonction $e^{\frac{1}{4} x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $7$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 1.3.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $7$ retiré.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{4} x}}$

Étape 1.3.2

Comme l’exposant $\frac{1}{4} x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{1}{4} x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 e^{\frac{x}{4}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])}$

Étape 3.5

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 3.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{4} e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.8

Associez $\frac{7}{4}$ et $e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Associez $3$ et $\frac{4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 4}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 5.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 12}{7 e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{12}{7}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{4}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{4}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{12}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 7.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 7.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 7.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 7.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Étape 7.3.7

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ par $1$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7.5

Combinez les facteurs.

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Étape 7.5.1

Associez $2$ et $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 7.5.3

Associez $x$ et $\frac{8}{e^{\frac{x}{4}}}$ .

$\frac{12}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 8}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 9

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 9.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 9.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 9.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 9.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{4}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{4}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 9.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{12}{7} \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 9.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 9.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}$

Étape 9.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 9.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 9.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 9.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}$

Étape 9.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 9.3.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{\frac{x}{4}}$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 9.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1}$

Étape 9.3.7

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ par $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} 1 \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$ par $1$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{4}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 10

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{\frac{x}{4}}}$ approche de $0$ .

$\frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 0$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{12}{7} \cdot 8$ .

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{12}{7}$ et $8$ .

$\frac{12 \cdot 8}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Étape 12.1.2

Multipliez $12$ par $8$ .

$\frac{96}{7} \cdot 4 \cdot 0$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{96}{7} \cdot 4$ .

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Étape 12.2.1

Associez $\frac{96}{7}$ et $4$ .

$\frac{96 \cdot 4}{7} \cdot 0$

Étape 12.2.2

Multipliez $96$ par $4$ .

$\frac{384}{7} \cdot 0$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{384}{7}$ par $0$ .

$0$