Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.6

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Étape 3.8

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

Étape 3.9.1.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

Étape 3.9.1.3

Annulez les facteurs communs.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{1 \tan (x)}$

Étape 3.9.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Étape 3.9.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{\sin (x)}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 7.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 7.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Étape 10.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$2 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Étape 10.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Étape 10.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 10.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$