Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 e^{9 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$10 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$90 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$90 e^{9 x} \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $90$ par $1$ .

$f' (x) = 90 e^{9 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $90$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $90 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $90 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$90 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$90 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$90 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$90 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$90 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $9$ par $90$ .

$810 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$810 e^{9 x} \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $810$ par $1$ .

$f'' (x) = 810 e^{9 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $810$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $810 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $810 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$810 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$810 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$810 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$810 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$810 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $9$ par $810$ .

$7290 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7290 e^{9 x} \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $7290$ par $1$ .

$f''' (x) = 7290 e^{9 x}$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7290 e^{9 x}$ .

$7290 e^{9 x}$