Calcul infinitésimal Exemples

$t (n) = 4 n^{- \frac{1}{4}} + 3 n^{\frac{5}{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 n^{- \frac{1}{4}} + 3 n^{\frac{5}{4}}$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [4 n^{- \frac{1}{4}}] + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{d}{d n} [4 n^{- \frac{1}{4}}] + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d n} [4 n^{- \frac{1}{4}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $4 n^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $n$ est $4 \frac{d}{d n} [n^{- \frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d n} [n^{- \frac{1}{4}}] + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} n^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} n^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} n^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (- \frac{1}{4} n^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 (- \frac{1}{4} n^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4} n^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{1}{4} n^{- \frac{5}{4}}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.8

Associez $n^{- \frac{5}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{n^{- \frac{5}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{n^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{n^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 4 n^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.11

Placez $n^{- \frac{5}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{4 n^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.12

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 n^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 n^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (n^{\frac{5}{4}})} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 n^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{n^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d n} [3 n^{\frac{5}{4}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $3 n^{\frac{5}{4}}$ par rapport à $n$ est $3 \frac{d}{d n} [n^{\frac{5}{4}}]$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 \frac{d}{d n} [n^{\frac{5}{4}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{4}$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{5 - 4}{4}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 (\frac{5}{4} n^{\frac{1}{4}})$

Étape 1.3.7

Associez $\frac{5}{4}$ et $n^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + 3 \frac{5 n^{\frac{1}{4}}}{4}$

Étape 1.3.8

Associez $3$ et $\frac{5 n^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + \frac{3 (5 n^{\frac{1}{4}})}{4}$

Étape 1.3.9

Multipliez $5$ par $3$ .

$- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} + \frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (n) = \frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4} - \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4} - \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [\frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4}] + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4}] + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d n} [\frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{15}{4}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{15 n^{\frac{1}{4}}}{4}$ par rapport à $n$ est $\frac{15}{4} \frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{15}{4} \frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{4} (\frac{1}{4} n^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{4}$ et $n^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{15}{4} \cdot \frac{n^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $\frac{n^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{15 n^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{15 n^{- \frac{3}{4}}}{16} + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.2.11

Placez $n^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d n} [- \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ est $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ où $f (n) = - 1$ et $g (n) = \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}] + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}$ comme ${(n^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - \frac{d}{d n} [{(n^{\frac{5}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{- 1}$ et $g (n) = n^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $n^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d n} [n^{\frac{5}{4}}]) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{5}{4}}]) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $n^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- {(n^{\frac{5}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{5}{4}}]) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- {(n^{\frac{5}{4}})}^{- 2} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d n} [- 1]$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $n$ est $0$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- {(n^{\frac{5}{4}})}^{- 2} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{5}{4}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5}{4} \cdot - 2} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5}{2} \cdot - 1} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{\frac{- 5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{5 - 4}{4}})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.10.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} (\frac{5}{4} n^{\frac{1}{4}})) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{5}{4}$ et $n^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - (- n^{- \frac{5}{2}} \frac{5 n^{\frac{1}{4}}}{4}) + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{5 n^{\frac{1}{4}}}{4}$ et $n^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{\frac{1}{4}} n^{- \frac{5}{2}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13

Multipliez $n^{\frac{1}{4}}$ par $n^{- \frac{5}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Déplacez $n^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 (n^{- \frac{5}{2}} n^{\frac{1}{4}})}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{- \frac{5}{2} + \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.3

Pour écrire $- \frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{- \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.13.4.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{- \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{- \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{\frac{- 5 \cdot 2 + 1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.13.6.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{\frac{- 10 + 1}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.6.2

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{\frac{- 9}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.13.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5 n^{- \frac{9}{4}}}{4} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.14

Placez $n^{- \frac{9}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} - - \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + 1 \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.16

Multipliez $\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}$ par $1$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}} + \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \cdot 0$

Étape 2.3.17

Multipliez $\frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}$ par $0$ .

$\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}} + 0$

Étape 2.3.18

Additionnez $\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}$ et $0$ .

$f'' (n) = \frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}} + \frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}}] + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}}] + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d n} [\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{15}{16}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{15}{16 n^{\frac{3}{4}}}$ par rapport à $n$ est $\frac{15}{16} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{3}{4}}}]$ .

$\frac{15}{16} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{3}{4}}}] + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{n^{\frac{3}{4}}}$ comme ${(n^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{15}{16} \frac{d}{d n} [{(n^{\frac{3}{4}})}^{- 1}] + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{- 1}$ et $g (n) = n^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $n^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{15}{16} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d n} [n^{\frac{3}{4}}]) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{15}{16} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{3}{4}}]) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $n^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{15}{16} (- {(n^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{3}{4}}]) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{15}{16} (- {(n^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{15}{16} (- n^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{3 - 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.9.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{\frac{- 1}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} n^{- \frac{1}{4}})) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.11

Associez $\frac{3}{4}$ et $n^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{15}{16} (- n^{- \frac{3}{2}} \frac{3 n^{- \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.12

Associez $\frac{3 n^{- \frac{1}{4}}}{4}$ et $n^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{1}{4}} n^{- \frac{3}{2}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13

Multipliez $n^{- \frac{1}{4}}$ par $n^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.13.1

Déplacez $n^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 (n^{- \frac{3}{2}} n^{- \frac{1}{4}})}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.3

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.13.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.6.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{\frac{- 7}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.13.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15}{16} (- \frac{3 n^{- \frac{7}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.14

Placez $n^{- \frac{7}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15}{16} (- \frac{3}{4 n^{\frac{7}{4}}}) + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.15

Multipliez $\frac{15}{16}$ par $\frac{3}{4 n^{\frac{7}{4}}}$ .

$- \frac{15 \cdot 3}{16 (4 n^{\frac{7}{4}})} + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.16

Multipliez $15$ par $3$ .

$- \frac{45}{16 (4 n^{\frac{7}{4}})} + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.2.17

Multipliez $4$ par $16$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d n} [\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{5}{4 n^{\frac{9}{4}}}$ par rapport à $n$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{9}{4}}}]$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{9}{4}}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{n^{\frac{9}{4}}}$ comme ${(n^{\frac{9}{4}})}^{- 1}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} \frac{d}{d n} [{(n^{\frac{9}{4}})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{- 1}$ et $g (n) = n^{\frac{9}{4}}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $n^{\frac{9}{4}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d n} [n^{\frac{9}{4}}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{9}{4}}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $n^{\frac{9}{4}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- {(n^{\frac{9}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{9}{4}}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{4}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- {(n^{\frac{9}{4}})}^{- 2} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{9}{4}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9}{4} \cdot - 2} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9}{2} \cdot - 1} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.3

Associez $\frac{9}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{9 \cdot - 1}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{\frac{- 9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1}))$

Étape 3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Étape 3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{9 - 4}{4}}))$

Étape 3.3.9.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} (\frac{9}{4} n^{\frac{5}{4}}))$

Étape 3.3.10

Associez $\frac{9}{4}$ et $n^{\frac{5}{4}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- n^{- \frac{9}{2}} \frac{9 n^{\frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{9 n^{\frac{5}{4}}}{4}$ et $n^{- \frac{9}{2}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{\frac{5}{4}} n^{- \frac{9}{2}}}{4})$

Étape 3.3.12

Multipliez $n^{\frac{5}{4}}$ par $n^{- \frac{9}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.12.1

Déplacez $n^{- \frac{9}{2}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 (n^{- \frac{9}{2}} n^{\frac{5}{4}})}{4})$

Étape 3.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{- \frac{9}{2} + \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.3

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.12.4.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{- \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{- \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{\frac{- 9 \cdot 2 + 5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.12.6.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{\frac{- 18 + 5}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.6.2

Additionnez $- 18$ et $5$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{\frac{- 13}{4}}}{4})$

Étape 3.3.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9 n^{- \frac{13}{4}}}{4})$

Étape 3.3.13

Placez $n^{- \frac{13}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} + \frac{5}{4} (- \frac{9}{4 n^{\frac{13}{4}}})$

Étape 3.3.14

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{9}{4 n^{\frac{13}{4}}}$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} - \frac{5 \cdot 9}{4 (4 n^{\frac{13}{4}})}$

Étape 3.3.15

Multipliez $5$ par $9$ .

$- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} - \frac{45}{4 (4 n^{\frac{13}{4}})}$

Étape 3.3.16

Multipliez $4$ par $4$ .

$f''' (n) = - \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} - \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}} - \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}}] + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$ .

$\frac{d}{d n} [- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}}] + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d n} [- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- \frac{45}{64}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- \frac{45}{64 n^{\frac{7}{4}}}$ par rapport à $n$ est $- \frac{45}{64} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{7}{4}}}]$ .

$- \frac{45}{64} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{7}{4}}}] + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{1}{n^{\frac{7}{4}}}$ comme ${(n^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

$- \frac{45}{64} \frac{d}{d n} [{(n^{\frac{7}{4}})}^{- 1}] + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{- 1}$ et $g (n) = n^{\frac{7}{4}}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $n^{\frac{7}{4}}$ .

$- \frac{45}{64} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d n} [n^{\frac{7}{4}}]) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{45}{64} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{7}{4}}]) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $n^{\frac{7}{4}}$ .

$- \frac{45}{64} (- {(n^{\frac{7}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{7}{4}}]) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{4}$ .

$- \frac{45}{64} (- {(n^{\frac{7}{4}})}^{- 2} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{7}{4}})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7}{4} \cdot - 2} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7}{2} \cdot - 1} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.3

Associez $\frac{7}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{7 \cdot - 1}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.4

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{\frac{- 7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{7 - 4}{4}})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.9.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} (\frac{7}{4} n^{\frac{3}{4}})) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.10

Associez $\frac{7}{4}$ et $n^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{45}{64} (- n^{- \frac{7}{2}} \frac{7 n^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.11

Associez $\frac{7 n^{\frac{3}{4}}}{4}$ et $n^{- \frac{7}{2}}$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{\frac{3}{4}} n^{- \frac{7}{2}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12

Multipliez $n^{\frac{3}{4}}$ par $n^{- \frac{7}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.12.1

Déplacez $n^{- \frac{7}{2}}$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 (n^{- \frac{7}{2}} n^{\frac{3}{4}})}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{- \frac{7}{2} + \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.3

Pour écrire $- \frac{7}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.12.4.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{- \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{- \frac{7 \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{\frac{- 7 \cdot 2 + 3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.12.6.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{\frac{- 14 + 3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.6.2

Additionnez $- 14$ et $3$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{\frac{- 11}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{64} (- \frac{7 n^{- \frac{11}{4}}}{4}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.13

Placez $n^{- \frac{11}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{64} (- \frac{7}{4 n^{\frac{11}{4}}}) + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{45}{64}) \frac{7}{4 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.15

Multipliez $\frac{45}{64}$ par $1$ .

$\frac{45}{64} \cdot \frac{7}{4 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.16

Multipliez $\frac{45}{64}$ par $\frac{7}{4 n^{\frac{11}{4}}}$ .

$\frac{45 \cdot 7}{64 (4 n^{\frac{11}{4}})} + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.17

Multipliez $45$ par $7$ .

$\frac{315}{64 (4 n^{\frac{11}{4}})} + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.2.18

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d n} [- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- \frac{45}{16}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- \frac{45}{16 n^{\frac{13}{4}}}$ par rapport à $n$ est $- \frac{45}{16} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{13}{4}}}]$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n^{\frac{13}{4}}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{n^{\frac{13}{4}}}$ comme ${(n^{\frac{13}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} \frac{d}{d n} [{(n^{\frac{13}{4}})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{- 1}$ et $g (n) = n^{\frac{13}{4}}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $n^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d n} [n^{\frac{13}{4}}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{13}{4}}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $n^{\frac{13}{4}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- {(n^{\frac{13}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d n} [n^{\frac{13}{4}}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{13}{4}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- {(n^{\frac{13}{4}})}^{- 2} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{13}{4}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13}{4} \cdot - 2} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13}{2} \cdot - 1} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.3

Associez $\frac{13}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{13 \cdot - 1}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.4

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{\frac{- 13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1}))$

Étape 4.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Étape 4.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 4.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 4.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{13 - 4}{4}}))$

Étape 4.3.9.2

Soustrayez $4$ de $13$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} (\frac{13}{4} n^{\frac{9}{4}}))$

Étape 4.3.10

Associez $\frac{13}{4}$ et $n^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- n^{- \frac{13}{2}} \frac{13 n^{\frac{9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.11

Associez $\frac{13 n^{\frac{9}{4}}}{4}$ et $n^{- \frac{13}{2}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{\frac{9}{4}} n^{- \frac{13}{2}}}{4})$

Étape 4.3.12

Multipliez $n^{\frac{9}{4}}$ par $n^{- \frac{13}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.12.1

Déplacez $n^{- \frac{13}{2}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 (n^{- \frac{13}{2}} n^{\frac{9}{4}})}{4})$

Étape 4.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{- \frac{13}{2} + \frac{9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.3

Pour écrire $- \frac{13}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{- \frac{13}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.12.4.1

Multipliez $\frac{13}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{- \frac{13 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{- \frac{13 \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{\frac{- 13 \cdot 2 + 9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.12.6.1

Multipliez $- 13$ par $2$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{\frac{- 26 + 9}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.6.2

Additionnez $- 26$ et $9$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{\frac{- 17}{4}}}{4})$

Étape 4.3.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13 n^{- \frac{17}{4}}}{4})$

Étape 4.3.13

Placez $n^{- \frac{17}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} - \frac{45}{16} (- \frac{13}{4 n^{\frac{17}{4}}})$

Étape 4.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + 1 (\frac{45}{16}) \frac{13}{4 n^{\frac{17}{4}}}$

Étape 4.3.15

Multipliez $\frac{45}{16}$ par $1$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{45}{16} \cdot \frac{13}{4 n^{\frac{17}{4}}}$

Étape 4.3.16

Multipliez $\frac{45}{16}$ par $\frac{13}{4 n^{\frac{17}{4}}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{45 \cdot 13}{16 (4 n^{\frac{17}{4}})}$

Étape 4.3.17

Multipliez $45$ par $13$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{585}{16 (4 n^{\frac{17}{4}})}$

Étape 4.3.18

Multipliez $4$ par $16$ .

$f^{4} (n) = \frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{585}{64 n^{\frac{17}{4}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $t (n)$ par rapport à $n$ est $\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{585}{64 n^{\frac{17}{4}}}$ .

$\frac{315}{256 n^{\frac{11}{4}}} + \frac{585}{64 n^{\frac{17}{4}}}$