Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 1.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{- 15}{x^{2}}$ et ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Associez $15$ et $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.3.6

Associez.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Étape 1.3.8

Multipliez $15 {(x + 5)}^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.5.6

Associez les fractions.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.5.6.2

Associez $- 15$ et $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.5.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.6.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.5

Déplacez $10$ à gauche de $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.6

Multipliez $10$ par $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.7

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.8

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.4.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.4.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.9.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.11

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.11.1

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.11.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1.13.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1.13.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.6.4.1.13.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.13.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.15

Simplifiez

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Étape 2.6.4.1.15.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.15.2

Multipliez $- 40$ par $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.1.15.3

Multipliez $- 100$ par $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $60 x^{5}$ de $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.4.3

Soustrayez $600 x^{4}$ de $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

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Étape 2.6.5.1.1

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.2

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.3

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.4

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.1.5

Factorisez $30 x^{3}$ à partir de $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.6.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ et dont la somme est $b = - 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.5.2.1.1

Factorisez $- 15$ à partir de $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.1.2

Réécrivez $- 15$ comme $- 5$ plus $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.6.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

Étape 2.6.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

Étape 2.6.6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{8}$ .

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Étape 2.6.6.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

Étape 2.6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.6.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 2.6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 2.6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.8

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.10

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.13

Multipliez $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 2.6.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

Étape 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 5$ et $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x + 5$ par $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x + 10$ par $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.8.4

Additionnez $5$ et $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 3.5.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.10.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 3.5.10.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

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Étape 3.5.10.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 3.5.10.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Étape 3.5.10.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

Étape 3.7

Associez $30$ et $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.3

Multipliez $2$ par $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.4

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.5

Multipliez $15$ par $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.6

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.7

Développez $(- 5 x - 25) (x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.8.4.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.8.4.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.4.1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.4.1.8.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.8.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.8.1.2

Multipliez $10$ par $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.8.1.3

Multipliez $- 25$ par $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.8.2

Soustrayez $25 x$ de $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.10

Simplifiez

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Étape 3.8.4.1.10.1

Multipliez $- 5$ par $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.10.2

Multipliez $- 75$ par $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.1.10.3

Multipliez $30$ par $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.2

Soustrayez $150 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Étape 3.8.4.3

Soustrayez $2250 x$ de $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Étape 3.8.5

Factorisez $30$ à partir de $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

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Étape 3.8.5.1

Factorisez $30$ à partir de $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Étape 3.8.5.2

Factorisez $30$ à partir de $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

Étape 3.8.5.3

Factorisez $30$ à partir de $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.5.4

Factorisez $30$ à partir de $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.5.5

Factorisez $30$ à partir de $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

Étape 3.8.9

Réécrivez $- 250$ comme $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

Étape 3.8.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Étape 3.8.11

Réécrivez $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Étape 3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$