Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}}{\sqrt[3]{x^{3} - 4}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}}{\sqrt[3]{x^{3} - 4}})$ comme $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln (\sqrt[3]{x^{3} - 4})$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln (\sqrt[3]{x^{3} - 4})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{3} - 4}$ comme ${(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \ln ({(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

Développez $\ln ({(x^{3} - 4)}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - (\frac{1}{3} \ln (x^{3} - 4))$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (x^{3} - 4)$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4} e^{5 x})$ comme $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 6

Réécrivez $\ln (7 {(x^{2} - 3)}^{4})$ comme $\ln (7) + \ln ({(x^{2} - 3)}^{4})$ .

$\ln (7) + \ln ({(x^{2} - 3)}^{4}) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 7

Développez $\ln ({(x^{2} - 3)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + \ln (e^{5 x}) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 8

Développez $\ln (e^{5 x})$ en déplaçant $5 x$ hors du logarithme.

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x \ln (e) - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x \cdot 1 - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (7) + 4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 11

Pour écrire $\ln (7)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \ln (7) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 12

Associez $\ln (7)$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{\ln (7) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{\ln (7) \cdot 3 - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 14

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (7)$ .

$4 \ln (x^{2} - 3) + 5 x + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 15

Pour écrire $4 \ln (x^{2} - 3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x + 4 \ln (x^{2} - 3) \cdot \frac{3}{3} + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 16

Associez $4 \ln (x^{2} - 3)$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 x + \frac{4 \ln (x^{2} - 3) \cdot 3}{3} + \frac{3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x + \frac{4 \ln (x^{2} - 3) \cdot 3 + 3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$

Étape 18

Multipliez $3$ par $4$ .

$5 x + \frac{12 \ln (x^{2} - 3) + 3 \ln (7) - \ln (x^{3} - 4)}{3}$