Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{π}{3}$ dans $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.1.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{3}$ dans $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ est $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.94719755$ dans l’expression.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Étape 6.3

Sur $0.94719755$ , la dérivée seconde est $- 0.53195951$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{3})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.14719755$ dans l’expression.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Étape 7.2

La réponse finale est $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Étape 7.3

Sur $1.14719755$ , la dérivée seconde est $0.50208433$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Étape 9