Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | 6 - x^{2} |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x^{2}$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- (2 x))$

Étape 1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- 2 x)$

Étape 1.2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} x$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (6 - x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 6 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{3})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{12 x - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.4

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x$ .

$- \frac{2 x (6) - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (6) + 2 x (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 1.3.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (6) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (6 - x^{2})$ et $g (x) = | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (6 - x^{2})) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (6 - x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (x (- 2 x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (6 - x^{2}) \cdot 1) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.8.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.8.3.1

Multipliez $6 - x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 6 - x^{2}) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.8.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 6 - x^{2} |}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Étape 2.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.9.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - x (6 - x^{2}) (\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez.

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Étape 2.10.1

Associez $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ et $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) - \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.6

Multipliez.

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Étape 2.10.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + 1 (\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}) \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.6.2

Multipliez $\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) (2 x))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.8

Associez les fractions.

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Étape 2.10.8.1

Associez $2$ et $\frac{(6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{2 ((6 - x^{2}) x)}{| 6 - x^{2} |} \cdot ((6 - x^{2}) x)}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.10.8.2

Associez $x$ et $\frac{2 ((6 - x^{2}) x)}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x (2 ((6 - x^{2}) x))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x \cdot x (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x \cdot x (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{1 + 1} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.15

Associez $- 2$ et $\frac{| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} (6 - x^{2})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 \cdot 6 + 2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6) + \frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 6)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 6 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 6 - x^{2} | \cdot 6) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2} + | 6 - x^{2} | \cdot 6) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $| 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2} + 6 \cdot | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 6 - x^{2} | x^{2}) + 2 (6 | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 6 - x^{2} | x^{2}) + 2 (6 | 6 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 6 - x^{2} | x^{2}) + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 6) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.1.7.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 12 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.2

Déplacez $12$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.1.7.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{12 x^{2} - 2 x^{4}}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.6

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $12 x^{2} - 2 x^{4}$ .

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Étape 2.17.4.1.7.6.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6) - 2 x^{4}}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.6.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.7.6.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (6) + 2 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} \cdot (6 - x^{2}))}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.8

Multipliez $\frac{2 x^{2} (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ par $6 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (6 - x^{2}) (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.1.9.1

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((6 - x^{2}) (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.9.2

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((6 - x^{2}) (6 - x^{2}))}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |})}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.10

Multipliez $2 \frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

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Étape 2.17.4.1.10.1

Associez $2$ et $\frac{2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} + 12 | 6 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.2

Pour écrire $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | - 6 | 6 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.3

Associez $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2}$ et $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} | + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.5.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} | + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.17.4.5.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 | 6 - x^{2} | x^{2} | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(6 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.2

Associez les exposants.

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Étape 2.17.4.5.2.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.2.2

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.2.3

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(6 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(6 - x^{2})}^{2} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.5.3.1

Réécrivez ${(6 - x^{2})}^{2}$ comme $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.2

Développez $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.17.4.5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.17.4.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.5.3.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.5.3.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.3.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 {(6 - x^{2})}^{2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.4

Réécrivez ${(6 - x^{2})}^{2}$ comme $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 ((6 - x^{2}) (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.5

Développez $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.4.5.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.17.4.5.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.4.5.3.6.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.4.5.3.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.6.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 (36 - 12 x^{2} + x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 36 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.4.5.3.8.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.5.3.8.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{12 | 6 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.6

Pour écrire $12 | 6 - x^{2} |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |}{| 6 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})$ .

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Étape 2.17.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.2

Multipliez $6 | 6 - x^{2} | | 6 - x^{2} |$ .

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Étape 2.17.4.8.2.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.2.2

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.2.3

Élevez $6 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | {(6 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | {(6 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.3

Réécrivez ${(6 - x^{2})}^{2}$ comme $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | (6 - x^{2}) (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.4

Développez $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.17.4.8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.17.4.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.8.5.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.8.5.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.5.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 - 24 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 72 + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.4.8.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 72 + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.7.2

Déplacez $72$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} + x^{2} (- 24 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} - 24 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 \cdot x^{2} - 24 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.4.8.8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.8.8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.4.8.8.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.4.8.8.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.5

Associez des termes.

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Étape 2.17.5.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 6 - x^{2} |}^{2}})$

Étape 2.17.5.2

Multipliez $\frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} |}$ par $\frac{1}{{| 6 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} | {| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.5.3

Multipliez $| 6 - x^{2} |$ par ${| 6 - x^{2} |}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.5.3.1

Multipliez $| 6 - x^{2} |$ par ${| 6 - x^{2} |}^{2}$ .

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Étape 2.17.5.3.1.1

Élevez $| 6 - x^{2} |$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{| 6 - x^{2} | {| 6 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 2.17.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 6 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Étape 2.17.5.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (6 | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 36 - 12 x^{2} + x^{4} | + 72 x^{2} - 24 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 6 - x^{2} |}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x^{2}$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- (2 x))$

Étape 4.1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |} (- 2 x)$

Étape 4.1.2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{6 - x^{2}}{| 6 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} x$

Étape 4.1.2.6.3

Associez $\frac{- 2 (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (6 - x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (6 - x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 6 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{2}) x}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{12 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{12 x + 2 (- x^{3})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{12 x - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x$ .

$- \frac{2 x (6) - 2 x^{3}}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (6) + 2 x (- x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.1.3.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (6) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (6 - x^{2}) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$6 - x^{2} = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $6 - x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $6 - x^{2}$ égal à $0$ .

$6 - x^{2} = 0$

Étape 5.3.3.2

Résolvez $6 - x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 6$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Étape 5.3.3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 5.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 5.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 5.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (6 - x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 5.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 6 - x^{2} | = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$6 - x^{2} = \pm 0$

Étape 6.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$6 - x^{2} = 0$

Étape 6.2.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 6$

Étape 6.2.4

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.2.4.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Étape 6.2.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 6.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 6.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 6.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - \sqrt{6}, x = \sqrt{6}$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 36 - 12 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 72 {(0)}^{2} - 24 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 6 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $36$ et $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $36$ et $0$ .

$- \frac{2 (6 | 36 | - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $36$ est $36$ .

$- \frac{2 (6 \cdot 36 - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $6$ par $36$ .

$- \frac{2 (216 - 3 \cdot 0^{2} | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 - 3 \cdot 0 | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 - 12 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 - 12 \cdot 0 + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 + 0^{4} | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.8.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 + 0 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.9

Additionnez $36$ et $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 + 0 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.10

Additionnez $36$ et $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 | 36 | + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.11

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $36$ est $36$ .

$- \frac{2 (216 + 0 \cdot 36 + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.12

Multipliez $0$ par $36$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 72 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 72 \cdot 0 - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.14

Multipliez $72$ par $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 - 24 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.16

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.18

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.19

Additionnez $216 + 0 + 0 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.20

Additionnez $216 + 0 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.21

Additionnez $216 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (216 + 0)}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.1.22

Additionnez $216$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 - 0 |}^{3}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 + 0 |}^{3}}$

Étape 9.2.3

Additionnez $6$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{{| 6 |}^{3}}$

Étape 9.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $6$ est $6$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{6^{3}}$

Étape 9.2.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 \cdot 216}{216}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $216$ .

$- \frac{432}{216}$

Étape 9.3.2

Divisez $432$ par $216$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 9.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | 6 - {(0)}^{2} |$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = | 6 - 0 |$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = | 6 + 0 |$

Étape 11.2.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f (0) = | 6 |$

Étape 11.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $6$ est $6$ .

$f (0) = 6$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (6 | 36 - 12 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{4} | - 3 {(- \sqrt{6})}^{2} | 36 - 12 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{4} | + 72 {(- \sqrt{6})}^{2} - 24 {(- \sqrt{6})}^{4} + 2 {(- \sqrt{6})}^{6})}{{| 6 - {(- \sqrt{6})}^{2} |}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

Étape 13.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 13.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Étape 13.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 13.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

Étape 13.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Étape 13.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 13.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 13.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Étape 13.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Étape 13.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 13.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

Étape 13.1.4.5

Évaluez l’exposant.

Étape 13.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

Étape 13.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

Étape 13.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

Étape 13.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{6})$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - {(- 5)}^{2} |}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - {(- 5)}^{2} |}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - 1 \cdot 25 |}$

Étape 14.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| 6 - 25 |}$

Étape 14.2.2.2.3

Soustrayez $25$ de $6$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{| - 19 |}$

Étape 14.2.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 19$ et $0$ est $19$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - {(- 5)}^{2})}{19}$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.2.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - 1 \cdot 25)}{19}$

Étape 14.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (6 - 25)}{19}$

Étape 14.2.2.3.3

Soustrayez $25$ de $6$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 19}{19}$

Étape 14.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.2.4.1

Multipliez $- 10$ par $- 19$ .

$f' (- 5) = - \frac{190}{19}$

Étape 14.2.2.4.2

Divisez $190$ par $19$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Étape 14.2.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Étape 14.2.2.5

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- \sqrt{6}, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 - {(- 1)}^{2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 14.3.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 14.3.2.3.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Étape 14.3.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 + {(- 1)}^{3} |}$

Étape 14.3.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 6 - 1 |}$

Étape 14.3.2.3.3

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{| 5 |}$

Étape 14.3.2.3.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 + {(- 1)}^{3})}{5}$

Étape 14.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.2.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (6 - 1)}{5}$

Étape 14.3.2.4.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 14.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 10}{5}$

Étape 14.3.2.5.2

Divisez $- 10$ par $5$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 14.3.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 14.3.2.6

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \sqrt{6})$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{2 (1) (6 - {(1)}^{2})}{| 6 - {(1)}^{2} |}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1^{2} |}$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1 \cdot 1 |}$

Étape 14.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 6 - 1 |}$

Étape 14.4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{| 5 |}$

Étape 14.4.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1^{2})}{5}$

Étape 14.4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1 \cdot 1)}{5}$

Étape 14.4.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (6 - 1)}{5}$

Étape 14.4.2.3.3

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 5}{5}$

Étape 14.4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.4.2.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (1) = - \frac{10}{5}$

Étape 14.4.2.4.2

Divisez $10$ par $5$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Étape 14.4.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (1) = - 2$

Étape 14.4.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\sqrt{6}, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (6 - x^{2})}{| 6 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{2 (5) (6 - {(5)}^{2})}{| 6 - {(5)}^{2} |}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.5.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 5^{2} |}$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.5.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 1 \cdot 25 |}$

Étape 14.5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| 6 - 25 |}$

Étape 14.5.2.2.3

Soustrayez $25$ de $6$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{| - 19 |}$

Étape 14.5.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 19$ et $0$ est $19$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 5^{2})}{19}$

Étape 14.5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 1 \cdot 25)}{19}$

Étape 14.5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (6 - 25)}{19}$

Étape 14.5.2.3.3

Soustrayez $25$ de $6$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 19}{19}$

Étape 14.5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.5.2.4.1

Multipliez $10$ par $- 19$ .

$f' (5) = - \frac{- 190}{19}$

Étape 14.5.2.4.2

Divisez $- 190$ par $19$ .

$f' (5) = 10$

Étape 14.5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Étape 14.5.2.5

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \sqrt{6}$ , $x = - \sqrt{6}$ est un minimum local.

$x = - \sqrt{6}$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \sqrt{6}$ , $x = \sqrt{6}$ est un minimum local.

$x = \sqrt{6}$ est un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = | 6 - x^{2} |$ .

$x = - \sqrt{6}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \sqrt{6}$ est un minimum local

$x = - \sqrt{6}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \sqrt{6}$ est un minimum local

Étape 15