Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 10$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

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Étape 1.1.2.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Étape 1.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.6

Réécrivez $- (x + 20)$ comme $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 20 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 20$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 20$ .

$- 20$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 20}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 20)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 21$ dans l’expression.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 21$ et $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 21$ à la puissance $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Étape 6.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Étape 6.3

Sur $x = - 21$ la dérivée est $- \frac{1}{9261}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 20)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 20)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 20, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 10$ et $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $- 1000$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Étape 7.3

Sur $x = - 10$ la dérivée est $\frac{1}{100}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 20, 0)$ .

Augmente sur $(- 20, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Additionnez $1$ et $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Étape 8.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Étape 8.2.3

Divisez $21$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$f' (1) = - 21$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- 21$ .

$- 21$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 21$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 20, 0)$

Diminue sur : $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Étape 10