Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 4}{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} + 4}{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 4$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.10.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.10.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.10.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} + 4}{2 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4}{2 (- 2)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 (- 2)}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{2 (- 2)}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{8}{- 4}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $8$ par $- 4$ .

$- 2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 4}{2 (2)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 (2)}$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{2 (2)}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8}{4}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $8$ par $4$ .

$2$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 4}{2 (0)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 4}{0}$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 2), (2, 2)$

Étape 5