Calcul infinitésimal Exemples

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$2 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 + 4 x^{- 3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 + \frac{4}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x^{3}} = - 2$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - 2 x^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{3} = 4$ .

$- 2 x^{3} = 4$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3} - 4$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 4 = 0$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 2 = 0$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{3}) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{3} + 2) = 0$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{3} + 2) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (x^{3} + 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Divisez $x^{3} + 2$ par $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 2$

Étape 2.5.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Étape 2.5.7

Simplifiez $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Étape 2.5.7.1

Réécrivez $- 2$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

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Étape 2.5.7.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Étape 2.5.7.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Étape 2.5.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Étape 2.5.7.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{2}$ comme $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \sqrt[3]{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt[3]{2}$ .

$2 (- \sqrt[3]{2}) - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt[3]{2}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{{(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{1 \sqrt[3]{4}}$

Étape 4.1.2.1.2.5

Multipliez $\sqrt[3]{4}$ par $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - (\frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 4.1.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 4.1.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 4.1.2.1.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.1.2.1.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 4.1.2.1.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.1.6.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Étape 4.1.2.1.6.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt[3]{2} - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.7.2

Divisez $\sqrt[3]{2}$ par $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $\sqrt[3]{2}$ de $- 2 \sqrt[3]{2}$ .

$- 3 \sqrt[3]{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 (0) - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (0) - \frac{2}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \sqrt[3]{2}, - 3 \sqrt[3]{2})$

Étape 5