Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 5 - 9 x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 9 x$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 9 x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.12

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 9)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.13

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.14

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 9) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.15

Associez $\frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $- 9$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 9}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.16

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18 {(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.17

Placez ${(5 - 9 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 18}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.18

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 ({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3 \cdot - 6}{3 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{- 6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (- \frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.21

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{6}{{(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = - \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{6}{7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 = 0$

Étape 2.3

Comme $6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{{(5 - 9 x)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{7 \sqrt[3]{5 - 9 x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[3]{5 - 9 x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(7 \sqrt[3]{5 - 9 x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5 - 9 x}$ comme ${(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$343 {({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$343 {(5 - 9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$343 {(5 - 9 x)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$343 (5 - 9 x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$343 \cdot 5 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.3.2.2.1.6.1

Multipliez $343$ par $5$ .

$1715 + 343 (- 9 x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 9$ par $343$ .

$1715 - 3087 x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1715 - 3087 x = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $1715$ des deux côtés de l’équation.

$- 3087 x = - 1715$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 3087 x = - 1715$ par $- 3087$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3087 x = - 1715$ par $- 3087$ .

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3087$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3087 x}{- 3087} = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1715}{- 3087}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 1715$ et $- 3087$ .

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Étape 3.3.3.2.3.1.1

Factorisez $- 343$ à partir de $- 1715$ .

$x = \frac{- 343 (5)}{- 3087}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.3.1.2.1

Factorisez $- 343$ à partir de $- 3087$ .

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 343 \cdot 5}{- 343 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{9}$

Étape 4

Évaluez $\frac{{(5 - 9 x)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{5}{9}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{9}$ .

$\frac{{(5 - 9 (\frac{5}{9}))}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{{(5 + 9 (- 1) \frac{5}{9})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 + 9 \cdot - 1 \frac{5}{9})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0^{3 (\frac{2}{3})}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0^{3 (\frac{2}{3})}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0^{2}}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{7} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $0$ par $7$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{5}{9}, 1)$

Étape 5