Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 1$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Étape 7.2

Factorisez.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 7.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 9

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 10

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 6, 3$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

Étape 14

Déterminez le domaine de $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ .

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Étape 14.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 14.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 27 x + 54$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

Étape 14.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

Étape 14.2.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Étape 14.2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ .

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

Étape 14.2.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ .

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Étape 14.2.1.2

Factorisez.

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Étape 14.2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 14.2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 14.2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Étape 14.2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

Étape 14.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 14.2.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 14.2.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 14.2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 14.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 14.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 6, 3$

Étape 14.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $0.\overline{074}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $- 0.8\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3.5$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $1.2\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.4

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 16.4.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

Étape 16.4.3

Le côté gauche $- 2.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 16.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

Étape 16.5.3

Le côté gauche $3.0\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 3$ Vrai

$3 < x < 4$ Faux

$4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 3$ Vrai

$3 < x < 4$ Faux

$4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ ou $4 \leq x < 6$

Étape 18

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

Étape 19