Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = x - 1$

Étape 2.5

Simplifiez

$V = x - 1$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ et $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2} - x$ sur $5$ et sur $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.6.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.6.2

Soustrayez $10$ de $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Étape 7.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Étape 7.2.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 7.2.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Étape 7.2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Étape 7.2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Étape 7.2.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Étape 7.2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 7.2.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Étape 7.2.2.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 7.2.2.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Étape 7.2.2.17

Additionnez $15$ et $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Étape 7.2.2.18

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 7.2.2.18.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Étape 7.2.2.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Étape 7.2.2.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Étape 7.2.2.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{8}{1})$

Étape 7.2.2.18.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$V = π \cdot 8$

Étape 7.2.2.19

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$V = 8 π$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 8 π$

Forme décimale :

$V = 25.13274122 \dots$

Étape 9