Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

Étape 1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$