Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 64$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 64$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (64) + f' (64) (x - 64)$

Étape 3

Évaluez $f (64)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $64$ dans l’expression.

$f (64) = {(64)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez ${(64)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

${(64)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$4^{2}$

Étape 3.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $64$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 4.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $64$ dans l’expression.

$\frac{2}{3 {(64)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{1}}$

Étape 4.3.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Étape 4.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{2}{12}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} (x - 64)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Étape 6.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Étape 6.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 32$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Étape 6.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Étape 6.2

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Étape 6.3

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{48 - 32}{3}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $32$ de $48$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Étape 7