Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{(1 + x^{2})}$ , $(3, 0.3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 0.3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{- {(3)}^{2} + 1}{{({(3)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{- 9 + 1}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.1.3

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$\frac{- 8}{{(3^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 8}{{(9 + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{- 8}{10^{2}}$

Étape 1.10.2.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 8}{100}$

Étape 1.10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.10.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $100$ .

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Étape 1.10.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{4 (- 2)}{100}$

Étape 1.10.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.10.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Étape 1.10.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 25}$

Étape 1.10.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{25}$

Étape 1.10.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{25}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{25}$ et un point donné, tel que $(3, 0.3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.3) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 0.3 = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 0.3 = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{2}{25} \cdot - 3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + 3 (\frac{2}{25})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $3$ et $\frac{2}{25}$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{3 \cdot 2}{25}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$y - 0.3 = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{6}{25}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - 0.3 = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $0.3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $0.3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + 0.3 \cdot \frac{25}{25}$

Étape 2.3.2.3

Associez $0.3$ et $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6}{25} + \frac{0.3 \cdot 25}{25}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Étape 2.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 x + 6 + 0.3 \cdot 25}{25}$

Étape 2.3.2.6

Multipliez $0.3$ par $25$ .

$y = \frac{- 2 x + 6 + 7.5}{25}$

Étape 2.3.2.7

Additionnez $6$ et $7.5$ .

$y = \frac{- 2 x + 13.5}{25}$

Étape 2.3.2.8

Factorisez $0.5$ à partir de $- 2 x + 13.5$ .

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Étape 2.3.2.8.1

Factorisez $0.5$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 13.5}{25}$

Étape 2.3.2.8.2

Factorisez $0.5$ à partir de $13.5$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)}{25}$

Étape 2.3.2.8.3

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 (- 4 x) + 0.5 (27)$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25}$

Étape 2.3.2.9

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$y = \frac{0.5 (- 4 x + 27)}{25 (1)}$

Étape 2.3.2.10

Séparez les fractions.

$y = \frac{0.5}{25} \cdot \frac{- 4 x + 27}{1}$

Étape 2.3.2.11

Divisez $0.5$ par $25$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{1}$

Étape 2.3.2.12

Annulez le facteur commun de $0.02$ .

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Étape 2.3.2.12.1

Factorisez $0.02$ à partir de $1$ .

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Étape 2.3.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$y = 0.02 \frac{- 4 x + 27}{0.02 \cdot 50}$

Étape 2.3.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 4 x + 27}{50}$

Étape 2.3.2.13

Divisez la fraction $\frac{- 4 x + 27}{50}$ en deux fractions.

$y = \frac{- 4 x}{50} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.2.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.14.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $50$ .

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Étape 2.3.2.14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{50} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.2.14.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.14.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 (25)} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.2.14.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 25} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.2.14.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.2.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{27}{50}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{27}{50}$

Étape 3