Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (\sin (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (\sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\sin (0))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\sin (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (\sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 4.1.2

Divisez $\cos (\sin (x))$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (\sin (x))$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} \sin (x))$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\cos (\sin (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (\sin (0))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\cos (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$