Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} - 120) e^{x}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 120 e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 120 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 120 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$ .

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 120 e^{x}$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 120 e^{x} = 0$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 120 e^{x} = 0$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 120 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120 = 0$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 120$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 120) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 120$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 120$ et dont la somme est $2$ .

$- 10, 12$

Étape 4.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{x} ((x - 10) (x + 12)) = 0$

Étape 4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 12 = 0$

Étape 4.3

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 4.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 4.4

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 4.5

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 10) (x + 12) = 0$ vraie.

$x = 10, - 12$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ sur $x = 10$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = {(10)}^{2} e^{10} - 120 e^{10}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f (10) = 100 e^{10} - 120 e^{10}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $120 e^{10}$ de $100 e^{10}$ .

$f (10) = - 20 e^{10}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 20 e^{10}$ .

$- 20 e^{10}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ sur $x = - 12$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f (- 12) = {(- 12)}^{2} e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f (- 12) = 144 e^{- 12} - 120 e^{- 12}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = 144 (\frac{1}{e^{12}}) - 120 e^{- 12}$

Étape 6.2.1.3

Associez $144$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 e^{- 12}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - 120 \frac{1}{e^{12}}$

Étape 6.2.1.5

Associez $- 120$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} + \frac{- 120}{e^{12}}$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 12) = \frac{144}{e^{12}} - \frac{120}{e^{12}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 12) = \frac{144 - 120}{e^{12}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $120$ de $144$ .

$f (- 12) = \frac{24}{e^{12}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{24}{e^{12}}$ .

$\frac{24}{e^{12}}$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{2} e^{x} - 120 e^{x}$ sont $y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$ .

$y = - 20 e^{10}, y = \frac{24}{e^{12}}$

Étape 8