Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 16 \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Associez $16$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.11

Associez $- 8$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 8 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.12

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.13

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Étape 3.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Étape 3.11

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2}$

Étape 3.12

Multipliez.

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Étape 3.12.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

Étape 3.12.2

Placez $x^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.13

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{5}{2}})}$

Étape 3.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.14.3

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$6 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Étape 4.9

Associez $x^{- \frac{7}{2}}$ et $\frac{5}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Étape 4.11

Associez $- 6$ et $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Étape 4.12

Multipliez.

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Étape 4.12.1

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Étape 4.12.2

Placez $x^{- \frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.13

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{7}{2}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{7}{2}}}$