Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3} \ln (6 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3} \ln (6 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (6 x)$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{6 x}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{2}}{6} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.4.1

Associez $6$ et $\frac{x^{2}}{6}$ .

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.4.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) (3 x^{2}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 (\ln (6 x) (3 x^{2}))$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$5 x^{2} + 15 \ln (6 x) x^{2}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2} \ln (6 x)$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$ .

$10 x + 15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (6 x)$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \cdot 6) + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{1}{6 x}$ et $6$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.9

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.10

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$10 x + 15 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11.2.3

Annulez le facteur commun.

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11.2.4

Réécrivez l’expression.

$10 x + 15 (\frac{x}{1} + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.3.11.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$10 x + 15 (x + \ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 x + 15 x + 15 (\ln (6 x) (2 x))$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $15$ .

$10 x + 15 x + 30 (\ln (6 x) (x))$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $10 x$ et $15 x$ .

$25 x + 30 \ln (6 x) x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 30 x \ln (6 x) + 25 x$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $30 x \ln (6 x) + 25 x$ .

$30 x \ln (6 x) + 25 x$