Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \arctan (x^{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{1 + x^{4}}$ et $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

Étape 1.3.4

Associez les fractions.

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Étape 1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

Étape 1.3.4.3

Associez $\frac{10}{1 + x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

Étape 1.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $x^{4} + 1$ par $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Associez $10$ et $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.2.2

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3

Factorisez $10$ à partir de $- 30 x^{4} + 10$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 30 x^{4}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3.2

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3.3

Factorisez $10$ à partir de $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.7

Réécrivez $- (3 x^{4} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$