Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $56 x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.3.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.3.8

Associez $56$ et $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{56 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.3.9

Multipliez $4$ par $56$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.4

Associez $\frac{7}{3}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{7}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.9

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{224}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.3.9

Multipliez $\frac{224}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.3.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Étape 2.3.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$