Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2.2

Additionnez $162 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$162 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $162 x = 0$ par $162$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $162 x = 0$ par $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $162$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $162$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $162$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1$ et $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $82$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $6724$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{81}{3362}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $162$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $82$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $162$ et $6724$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{81}{3362}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 8