Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{1 - x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 - x}$ comme ${(1 - x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5

Multipliez.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5.2

Multipliez ${(1 - x)}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.3.7

Multipliez ${(1 - x)}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x)}^{- 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ comme ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = - x + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 {(- x + 1)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{3}}$