Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 0}^{3} {(3 i + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(3 i + 2)}^{2}$ comme $(3 i + 2) (3 i + 2)$ .

$(3 i + 2) (3 i + 2)$

Étape 1.2

Développez $(3 i + 2) (3 i + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i + 2) + 2 (3 i + 2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i + 2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot 2 + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 i^{2} + 6 i + 2 (3 i) + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$9 i^{2} + 6 i + 6 i + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$9 i^{2} + 6 i + 6 i + 4$

Étape 1.3.2

Additionnez $6 i$ et $6 i$ .

$9 i^{2} + 12 i + 4$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 0}^{3} 9 i^{2} + 12 i + 4$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$9 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 + 12 \cdot 0 + 4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0 + 4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 + 9 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.6

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$4 + 9 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.7

Multipliez $9$ par $1$ .

$4 + 9 + 12 \cdot 1 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.8

Multipliez $12$ par $1$ .

$4 + 9 + 12 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.9

Additionnez $9$ et $12$ .

$4 + 21 + 4 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.10

Additionnez $21$ et $4$ .

$4 + 25 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.11

Additionnez $4$ et $25$ .

$29 + 9 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$29 + 9 \cdot 4 + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.13

Multipliez $9$ par $4$ .

$29 + 36 + 12 \cdot 2 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.14

Multipliez $12$ par $2$ .

$29 + 36 + 24 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.15

Additionnez $36$ et $24$ .

$29 + 60 + 4 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.16

Additionnez $60$ et $4$ .

$29 + 64 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.17

Additionnez $29$ et $64$ .

$93 + 9 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$93 + 9 \cdot 9 + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.19

Multipliez $9$ par $9$ .

$93 + 81 + 12 \cdot 3 + 4$

Étape 3.20

Multipliez $12$ par $3$ .

$93 + 81 + 36 + 4$

Étape 3.21

Additionnez $81$ et $36$ .

$93 + 117 + 4$

Étape 3.22

Additionnez $117$ et $4$ .

$93 + 121$

Étape 3.23

Additionnez $93$ et $121$ .

$214$