Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{2} (j + 1)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} j + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $j$ .

$\frac{j}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{j}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{2} + \frac{1}{2} = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{2} + \sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\frac{1}{2}$ dans l’addition.

$(\frac{1}{2}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Étape 3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{2}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{56}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $56$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (28)}{2}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 28}{2}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28}{2}$

Étape 3.4.3

Divisez $28$ par $2$ .

$14$

Étape 4

Évaluez $\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{1}{2}) (7)$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $7$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$14 + \frac{7}{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Étape 6.2

Associez $14$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 2 + 7}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{28 + 7}{2}$

Étape 6.4.2

Additionnez $28$ et $7$ .

$\frac{35}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{35}{2}$

Forme décimale :

$17.5$

Forme de nombre mixte :

$17 \frac{1}{2}$