Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $\sin (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.1.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.4

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.1.2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.3

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 2.2.3.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Étape 2.2.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 2.2.3.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 2.2.3.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - 0)$

Étape 2.2.3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.5.2.2.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Étape 2.2.3.6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 2.2.3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.3.6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.3.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 2.2.3.6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 2.2.3.7

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2.4

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Étape 5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Étape 5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Étape 5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Étape 5.2.1.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Étape 5.2.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Étape 5.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6