Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 2$ .

$0, 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $48$ de $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $48$ de $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 108$ .

$- 108$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 108$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $48$ par $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $48$ de $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 36$ et $48$ .

$f' (1) = 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $12$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Étape 8.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $48$ par $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $432$ de $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 108$ et $144$ .

$f' (3) = 36$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 8.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $36$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, 2), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 10