Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Étape 1.5.3

Simplifiez $- 8 \ln (2)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Étape 1.5.4

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Étape 1.5.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- \ln (256) + 6$ et un point donné, tel que $(3, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Développez $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Étape 2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.4.1.1

Multipliez $- \ln (256) \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.4.1.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4.1.1.2

Simplifiez $3 \ln (256)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4.1.2

Élevez $256$ à la puissance $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4.1.3

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Étape 2.3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Étape 2.3.3

Soustrayez $18$ de $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’équation comme $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Étape 2.3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Étape 2.3.5.2

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Étape 2.3.6

Divisez chaque terme dans $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Divisez chaque terme dans $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (x \ln (256))$ comme $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.4

Divisez $\ln (16777216)$ par $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.6

Réécrivez $- 1 \cdot (- 6 x)$ comme $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Étape 2.3.6.3.1.8

Divisez $17$ par $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Étape 2.3.7

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Déplacez $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Étape 2.3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Étape 2.3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Étape 2.3.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Étape 2.3.7.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Étape 3