Calcul infinitésimal Exemples

${(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Étape 1

Écrivez ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\sqrt[6]{x})}^{3} d x$

Étape 4

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 4.1

Réécrivez ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{x}$ comme $x^{\frac{1}{6}}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{6}})}^{3} d x$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} \cdot 3} d x$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6}} d x$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\int x^{\frac{3 (1)}{6}} d x$

Étape 4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$\int \sqrt{x} d x$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$