Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{22}{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{22}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 1 \cdot 7}{7}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{22 - 7}{7}}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $7$ de $22$ .

$\frac{22}{7} x^{\frac{15}{7}}$

Étape 1.6

Associez $\frac{22}{7}$ et $x^{\frac{15}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{22}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{22 x^{\frac{15}{7}}}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$ .

$\frac{22}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{15}{7}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{15}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{15 - 7}{7}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $7$ de $15$ .

$\frac{22}{7} (\frac{15}{7} x^{\frac{8}{7}})$

Étape 2.7

Associez $\frac{15}{7}$ et $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{22}{7} \cdot \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{22}{7}$ par $\frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7}$ .

$\frac{22 (15 x^{\frac{8}{7}})}{7 \cdot 7}$

Étape 2.9

Multipliez.

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Étape 2.9.1

Multipliez $15$ par $22$ .

$\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{7 \cdot 7}$

Étape 2.9.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\frac{330}{49}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{330 x^{\frac{8}{7}}}{49}$ par rapport à $x$ est $\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$ .

$\frac{330}{49} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{7}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1})$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{8 - 7}{7}})$

Étape 3.6.2

Soustrayez $7$ de $8$ .

$\frac{330}{49} (\frac{8}{7} x^{\frac{1}{7}})$

Étape 3.7

Associez $\frac{8}{7}$ et $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{330}{49} \cdot \frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{330}{49}$ par $\frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$\frac{330 (8 x^{\frac{1}{7}})}{49 \cdot 7}$

Étape 3.9

Multipliez.

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Étape 3.9.1

Multipliez $8$ par $330$ .

$\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{49 \cdot 7}$

Étape 3.9.2

Multipliez $49$ par $7$ .

$f''' (x) = \frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $\frac{2640}{343}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2640 x^{\frac{1}{7}}}{343}$ par rapport à $x$ est $\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$ .

$\frac{2640}{343} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2640}{343} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{2640}{343} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{2640}{343}$ par $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{343 \cdot 7}$

Étape 4.10

Multipliez.

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Étape 4.10.1

Multipliez $343$ par $7$ .

$\frac{2640 x^{- \frac{6}{7}}}{2401}$

Étape 4.10.2

Placez $x^{- \frac{6}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2640}{2401 x^{\frac{6}{7}}}$