Calcul infinitésimal Exemples

$8 \csc (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 8 \cot (x) \csc (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \cot (x) \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$- 8 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 8 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 2.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2

Associez des termes.

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Étape 2.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 \csc (x) \cot^{2} (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Étape 2.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$