Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.3

Associez $4$ et $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{28}{2}$ et $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $28$ et $2$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.3.6.2.4

Divisez $14 x^{3}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{71}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{71}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.4

Multipliez $3$ par $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{213}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.6

Annulez le facteur commun à $213$ et $3$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.4.6.2.4

Divisez $71 x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $77$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $77 x^{2}$ par rapport à $x$ est $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Étape 1.6.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Étape 1.6.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (14 x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (14 x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x^{3}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $14$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $71$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $71 x^{2}$ par rapport à $x$ est $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $71$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $154$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $154 x$ par rapport à $x$ est $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4.3

Multipliez $154$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.3

Associez $4$ et $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.5

Associez $\frac{28}{2}$ et $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.6

Annulez le facteur commun à $28$ et $2$ .

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Étape 4.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.3.6.2.4

Divisez $14 x^{3}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $\frac{71}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{71}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.3

Associez $3$ et $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.4

Multipliez $3$ par $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.5

Associez $\frac{213}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.6

Annulez le facteur commun à $213$ et $3$ .

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Étape 4.1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.4.6.2.4

Divisez $71 x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $77$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $77 x^{2}$ par rapport à $x$ est $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $2$ par $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Étape 4.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Étape 4.1.6.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Étape 4.1.6.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Étape 5.2.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.4

Multipliez $14$ par $- 8$ .

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.5

Soustrayez $112$ de $16$ .

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.6

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.7

Multipliez $71$ par $4$ .

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.8

Additionnez $- 96$ et $284$ .

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

Étape 5.2.1.3.9

Multipliez $154$ par $- 2$ .

$188 - 308 + 120$

Étape 5.2.1.3.10

Soustrayez $308$ de $188$ .

$- 120 + 120$

Étape 5.2.1.3.11

Additionnez $- 120$ et $120$ .

$0$

Étape 5.2.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

Étape 5.2.1.5

Divisez $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ par $x + 2$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 5.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 5.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

Étape 5.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Étape 5.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Étape 5.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Étape 5.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{3} + 24 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Étape 5.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

Étape 5.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Étape 5.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $47 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Étape 5.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Étape 5.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $47 x^{2} + 94 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Étape 5.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

Étape 5.2.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $60 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $60 x + 120$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Étape 5.2.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

Étape 5.2.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

Étape 5.2.1.6

Écrivez $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Étape 5.2.2.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Étape 5.2.2.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Étape 5.2.2.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

Étape 5.2.2.3.4

Multipliez $12$ par $9$ .

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

Étape 5.2.2.3.5

Additionnez $- 27$ et $108$ .

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

Étape 5.2.2.3.6

Multipliez $47$ par $- 3$ .

$81 - 141 + 60$

Étape 5.2.2.3.7

Soustrayez $141$ de $81$ .

$- 60 + 60$

Étape 5.2.2.3.8

Additionnez $- 60$ et $60$ .

$0$

Étape 5.2.2.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ par $x + 3$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Étape 5.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Étape 5.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Étape 5.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 5.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{2} + 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Étape 5.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Étape 5.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x + 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Étape 5.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

Étape 5.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 9 x + 20$

Étape 5.2.2.6

Écrivez $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 5.2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 8 + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$- 32 + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Étape 9.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 32 + 42 \cdot 4 + 142 (- 2) + 154$

Étape 9.1.4

Multipliez $42$ par $4$ .

$- 32 + 168 + 142 (- 2) + 154$

Étape 9.1.5

Multipliez $142$ par $- 2$ .

$- 32 + 168 - 284 + 154$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 32$ et $168$ .

$136 - 284 + 154$

Étape 9.2.2

Soustrayez $284$ de $136$ .

$- 148 + 154$

Étape 9.2.3

Additionnez $- 148$ et $154$ .

$6$

Étape 10

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f (- 2) = \frac{1}{5} \cdot - 32 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 32$ .

$f (- 2) = \frac{- 32}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot 16 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 (8)) + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 8) + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 7 \cdot 8 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $7$ par $8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.7

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71}{3} \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $\frac{71}{3} \cdot - 8$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Associez $\frac{71}{3}$ et $- 8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71 \cdot - 8}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.8.2

Multipliez $71$ par $- 8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{- 568}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.10

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 77 \cdot 4 + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.11

Multipliez $77$ par $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 308 + 120 (- 2)$

Étape 11.2.1.12

Multipliez $120$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{32}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{32}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.3

Écrivez $56$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56}{1} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{56}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56}{1} \cdot \frac{15}{15} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{56}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{568}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - (\frac{568}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 308 - 240$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{568}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 308 - 240$

Étape 11.2.2.8

Écrivez $308$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308}{1} - 240$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $\frac{308}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308}{1} \cdot \frac{15}{15} - 240$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $\frac{308}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} - 240$

Étape 11.2.2.11

Écrivez $- 240$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240}{1}$

Étape 11.2.2.12

Multipliez $\frac{- 240}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Étape 11.2.2.13

Multipliez $\frac{- 240}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.2.14

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 3$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.2.15

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.2.16

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{15} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3 + 56 \cdot 15 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 56 \cdot 15 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $56$ par $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $- 568$ par $5$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.4.4

Multipliez $308$ par $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 4620 - 240 \cdot 15}{15}$

Étape 11.2.4.5

Multipliez $- 240$ par $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 4620 - 3600}{15}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $- 96$ et $840$ .

$f (- 2) = \frac{744 - 2840 + 4620 - 3600}{15}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $2840$ de $744$ .

$f (- 2) = \frac{- 2096 + 4620 - 3600}{15}$

Étape 11.2.5.3

Additionnez $- 2096$ et $4620$ .

$f (- 2) = \frac{2524 - 3600}{15}$

Étape 11.2.5.4

Soustrayez $3600$ de $2524$ .

$f (- 2) = \frac{- 1076}{15}$

Étape 11.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{1076}{15}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $- \frac{1076}{15}$ .

$y = - \frac{1076}{15}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 13.1.2

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$- 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Étape 13.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Étape 13.1.4

Multipliez $42$ par $9$ .

$- 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Étape 13.1.5

Multipliez $142$ par $- 3$ .

$- 108 + 378 - 426 + 154$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Additionnez $- 108$ et $378$ .

$270 - 426 + 154$

Étape 13.2.2

Soustrayez $426$ de $270$ .

$- 156 + 154$

Étape 13.2.3

Additionnez $- 156$ et $154$ .

$- 2$

Étape 14

$x = - 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7}{2} \cdot 81 + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot 81$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7 \cdot 81}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.5.2

Multipliez $7$ par $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.6

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot - 27 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot (3 (- 9)) + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + 71 \cdot - 9 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $71$ par $- 9$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.9

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 77 \cdot 9 + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.10

Multipliez $77$ par $9$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 693 + 120 (- 3)$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $120$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{243}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - (\frac{243}{5} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{243}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{567}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567}{2} \cdot \frac{5}{5} - 639 + 693 - 360$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{567}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} - 639 + 693 - 360$

Étape 15.2.2.5

Écrivez $- 639$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639}{1} + 693 - 360$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{- 639}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639}{1} \cdot \frac{10}{10} + 693 - 360$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $\frac{- 639}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + 693 - 360$

Étape 15.2.2.8

Écrivez $693$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693}{1} - 360$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{693}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693}{1} \cdot \frac{10}{10} - 360$

Étape 15.2.2.10

Multipliez $\frac{693}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} - 360$

Étape 15.2.2.11

Écrivez $- 360$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360}{1}$

Étape 15.2.2.12

Multipliez $\frac{- 360}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Étape 15.2.2.13

Multipliez $\frac{- 360}{1}$ par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.2.14

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 2$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{2 \cdot 5} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.2.15

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{10} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.2.16

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{10} + \frac{567 \cdot 5}{10} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 567 \cdot 5 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 243$ par $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 567 \cdot 5 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $567$ par $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $- 639$ par $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.4.4

Multipliez $693$ par $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 6930 - 360 \cdot 10}{10}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $- 360$ par $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 6930 - 3600}{10}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 486$ et $2835$ .

$f (- 3) = \frac{2349 - 6390 + 6930 - 3600}{10}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $6390$ de $2349$ .

$f (- 3) = \frac{- 4041 + 6930 - 3600}{10}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 4041$ et $6930$ .

$f (- 3) = \frac{2889 - 3600}{10}$

Étape 15.2.5.4

Soustrayez $3600$ de $2889$ .

$f (- 3) = \frac{- 711}{10}$

Étape 15.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{711}{10}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{711}{10}$ .

$y = - \frac{711}{10}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 17.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$- 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Étape 17.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Étape 17.1.4

Multipliez $42$ par $16$ .

$- 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Étape 17.1.5

Multipliez $142$ par $- 4$ .

$- 256 + 672 - 568 + 154$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Additionnez $- 256$ et $672$ .

$416 - 568 + 154$

Étape 17.2.2

Soustrayez $568$ de $416$ .

$- 152 + 154$

Étape 17.2.3

Additionnez $- 152$ et $154$ .

$2$

Étape 18

$x = - 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 4$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 4$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{1}{5} \cdot {(- 4)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $5$ .

$f (- 4) = \frac{1}{5} \cdot - 1024 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1024$ .

$f (- 4) = \frac{- 1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot 256 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 (128)) + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 128) + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 7 \cdot 128 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $7$ par $128$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.7

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71}{3} \cdot - 64 + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.8

Multipliez $\frac{71}{3} \cdot - 64$ .

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Étape 19.2.1.8.1

Associez $\frac{71}{3}$ et $- 64$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71 \cdot - 64}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.8.2

Multipliez $71$ par $- 64$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{- 4544}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.10

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 77 \cdot 16 + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.11

Multipliez $77$ par $16$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 + 120 (- 4)$

Étape 19.2.1.12

Multipliez $120$ par $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 19.2.2.1

Multipliez $\frac{1024}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3}) + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{1024}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.3

Écrivez $896$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896}{1} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $\frac{896}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896}{1} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $\frac{896}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $\frac{4544}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - (\frac{4544}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.7

Multipliez $\frac{4544}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 1232 - 480$

Étape 19.2.2.8

Écrivez $1232$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232}{1} - 480$

Étape 19.2.2.9

Multipliez $\frac{1232}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232}{1} \cdot \frac{15}{15} - 480$

Étape 19.2.2.10

Multipliez $\frac{1232}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} - 480$

Étape 19.2.2.11

Écrivez $- 480$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480}{1}$

Étape 19.2.2.12

Multipliez $\frac{- 480}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Étape 19.2.2.13

Multipliez $\frac{- 480}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.2.14

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 3$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.2.15

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{15} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.2.16

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{15} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{15} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = \frac{- 1024 \cdot 3 + 896 \cdot 15 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1

Multipliez $- 1024$ par $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 896 \cdot 15 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $896$ par $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.4.3

Multipliez $- 4544$ par $5$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.4.4

Multipliez $1232$ par $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 18480 - 480 \cdot 15}{15}$

Étape 19.2.4.5

Multipliez $- 480$ par $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 18480 - 7200}{15}$

Étape 19.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.2.5.1

Additionnez $- 3072$ et $13440$ .

$f (- 4) = \frac{10368 - 22720 + 18480 - 7200}{15}$

Étape 19.2.5.2

Soustrayez $22720$ de $10368$ .

$f (- 4) = \frac{- 12352 + 18480 - 7200}{15}$

Étape 19.2.5.3

Additionnez $- 12352$ et $18480$ .

$f (- 4) = \frac{6128 - 7200}{15}$

Étape 19.2.5.4

Soustrayez $7200$ de $6128$ .

$f (- 4) = \frac{- 1072}{15}$

Étape 19.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{1072}{15}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $- \frac{1072}{15}$ .

$y = - \frac{1072}{15}$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 5)}^{3} + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 125 + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Étape 21.1.2

Multipliez $4$ par $- 125$ .

$- 500 + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Étape 21.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 500 + 42 \cdot 25 + 142 (- 5) + 154$

Étape 21.1.4

Multipliez $42$ par $25$ .

$- 500 + 1050 + 142 (- 5) + 154$

Étape 21.1.5

Multipliez $142$ par $- 5$ .

$- 500 + 1050 - 710 + 154$

Étape 21.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 21.2.1

Additionnez $- 500$ et $1050$ .

$550 - 710 + 154$

Étape 21.2.2

Soustrayez $710$ de $550$ .

$- 160 + 154$

Étape 21.2.3

Additionnez $- 160$ et $154$ .

$- 6$

Étape 22

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot {(- 5)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot - 3125 + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 23.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 3125$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 (- 625)) + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 625) + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5) = - 625 + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{7}{2} \cdot 625 + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.4

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot 625$ .

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Étape 23.2.1.4.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $625$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{7 \cdot 625}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.4.2

Multipliez $7$ par $625$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71}{3} \cdot - 125 + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.6

Multipliez $\frac{71}{3} \cdot - 125$ .

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Étape 23.2.1.6.1

Associez $\frac{71}{3}$ et $- 125$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71 \cdot - 125}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.6.2

Multipliez $71$ par $- 125$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{- 8875}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.8

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 77 \cdot 25 + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.9

Multipliez $77$ par $25$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 + 120 (- 5)$

Étape 23.2.1.10

Multipliez $120$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 23.2.2.1

Écrivez $- 625$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625}{1} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.2

Multipliez $\frac{- 625}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.3

Multipliez $\frac{- 625}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.4

Multipliez $\frac{4375}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.5

Multipliez $\frac{4375}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.6

Multipliez $\frac{8875}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - (\frac{8875}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.7

Multipliez $\frac{8875}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + 1925 - 600$

Étape 23.2.2.8

Écrivez $1925$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925}{1} - 600$

Étape 23.2.2.9

Multipliez $\frac{1925}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925}{1} \cdot \frac{6}{6} - 600$

Étape 23.2.2.10

Multipliez $\frac{1925}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} - 600$

Étape 23.2.2.11

Écrivez $- 600$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600}{1}$

Étape 23.2.2.12

Multipliez $\frac{- 600}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 23.2.2.13

Multipliez $\frac{- 600}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.2.14

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.2.15

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.2.16

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{6} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6 + 4375 \cdot 3 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.4.1

Multipliez $- 625$ par $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 4375 \cdot 3 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.4.2

Multipliez $4375$ par $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.4.3

Multipliez $- 8875$ par $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.4.4

Multipliez $1925$ par $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 11550 - 600 \cdot 6}{6}$

Étape 23.2.4.5

Multipliez $- 600$ par $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 11550 - 3600}{6}$

Étape 23.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 23.2.5.1

Additionnez $- 3750$ et $13125$ .

$f (- 5) = \frac{9375 - 17750 + 11550 - 3600}{6}$

Étape 23.2.5.2

Soustrayez $17750$ de $9375$ .

$f (- 5) = \frac{- 8375 + 11550 - 3600}{6}$

Étape 23.2.5.3

Additionnez $- 8375$ et $11550$ .

$f (- 5) = \frac{3175 - 3600}{6}$

Étape 23.2.5.4

Soustrayez $3600$ de $3175$ .

$f (- 5) = \frac{- 425}{6}$

Étape 23.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{425}{6}$

Étape 23.2.6

La réponse finale est $- \frac{425}{6}$ .

$y = - \frac{425}{6}$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ .

$(- 2, - \frac{1076}{15})$ est un minimum local

$(- 3, - \frac{711}{10})$ est un maximum local

$(- 4, - \frac{1072}{15})$ est un minimum local

$(- 5, - \frac{425}{6})$ est un maximum local

Étape 25