Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \sin^{2} (0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2}}$

Étape 1.3.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Étape 3.9

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 3.11

Réorganisez les facteurs de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos (x)}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{1}{4} \sec (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$