Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2 x + 1$ par $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ comme ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 4}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}}$