Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5}}{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{5}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.3

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.4

Associez $\frac{4}{8}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Étape 2.2.3.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Étape 2.2.3.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x^{2} (2 x) + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$x^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{3}{2}$ .

$x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $2 x + \frac{3}{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $2 x + \frac{3}{2}$ égal à $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 x + \frac{3}{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{3}{2}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{3}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.2.3.2

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.2.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{5}}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $0$ par $10$ .

$f (0) = 0 + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{0}{8} + 2$

Étape 4.1.2.1.4

Divisez $0$ par $8$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ est $(0, 2)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 2)$

Étape 4.3

Remplacez $- \frac{3}{4}$ dans $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- \frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{3^{5}}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{1024}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{243}{1024}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10 \cdot 1024} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.3.2

Multipliez $10$ par $1024$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{3^{4}}{4^{4}})}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{4^{4}})}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4.5

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{256})}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.4.6

Multipliez $\frac{81}{256}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{\frac{81}{256}}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8} + 2$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $\frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.6.1

Multipliez $\frac{81}{256}$ par $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256 \cdot 8} + 2$

Étape 4.3.2.1.6.2

Multipliez $256$ par $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} + 2$

Étape 4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{2048}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} \cdot \frac{5}{5} + 2$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{2048}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + 2$

Étape 4.3.2.2.3

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1}$

Étape 4.3.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1} \cdot \frac{10240}{10240}$

Étape 4.3.2.2.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Étape 4.3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $2048 \cdot 5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{5 \cdot 2048} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Étape 4.3.2.2.7

Multipliez $5$ par $2048$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{10240} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 81 \cdot 5 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $81$ par $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Étape 4.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 20480}{10240}$

Étape 4.3.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Additionnez $- 243$ et $405$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{162 + 20480}{10240}$

Étape 4.3.2.5.2

Additionnez $162$ et $20480$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{20642}{10240}$

Étape 4.3.2.5.3

Annulez le facteur commun à $20642$ et $10240$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $20642$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 (10321)}{10240}$

Étape 4.3.2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Étape 4.3.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Étape 4.3.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{10321}{5120}$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est $\frac{10321}{5120}$ .

$\frac{10321}{5120}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{3}{4}$ dans $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ est $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 2), (- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup (- \frac{3}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{3}{4})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.85$ dans l’expression.

$f'' (- 0.85) = 2 {(- 0.85)}^{3} + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.85$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.85) = 2 \cdot - 0.614125 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.614125$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.85$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 \cdot 0.7225}{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.7225$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{2.1675}{2}$

Étape 6.2.1.5

Divisez $2.1675$ par $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + 1.08375$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 1.22825$ et $1.08375$ .

$f'' (- 0.85) = - 0.1445$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.1445$ .

$- 0.1445$

Étape 6.3

Sur $- 0.85$ , la dérivée seconde est $- 0.1445$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{3}{4})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{3}{4})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{3}{4}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.375$ dans l’expression.

$f'' (- 0.375) = 2 {(- 0.375)}^{3} + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.375$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.375) = 2 \cdot - 0.05273437 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.05273437$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 0.375$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 \cdot 0.140625}{2}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.140625$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{0.421875}{2}$

Étape 7.2.1.5

Divisez $0.421875$ par $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + 0.2109375$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 0.10546875$ et $0.2109375$ .

$f'' (- 0.375) = 0.10546875$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.10546875$ .

$0.10546875$

Étape 7.3

Sur $- 0.375$ , la dérivée seconde est $0.10546875$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{3}{4}, 0)$ .

Augmente sur $(- \frac{3}{4}, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{3} + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.001 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 \cdot 0.01}{2}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{0.03}{2}$

Étape 8.2.1.5

Divisez $0.03$ par $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 0.015$

Étape 8.2.2

Additionnez $0.002$ et $0.015$ .

$f'' (0.1) = 0.017$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.017$ .

$0.017$

Étape 8.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $0.017$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ .

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Étape 10