Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ car la dérivée est continue sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ et différentiable sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ est continu sur $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ et différentiable sur $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Résolvez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Étape 8.2.2.1.1.2

Associez.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 8.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Étape 8.2.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Étape 8.2.2.1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Étape 8.2.2.1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Étape 8.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.2.2.1.4.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Étape 8.2.2.1.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Étape 8.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Étape 8.2.2.1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Étape 8.2.2.1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Étape 8.2.2.1.4.4

Divisez $0$ par $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 8.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 8.5

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 8.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8.7

Résolvez $x$ .

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Étape 8.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 8.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 8.7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 8.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.7.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 8.7.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 8.7.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 8.7.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.7.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.7.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.7.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Étape 8.7.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Étape 8.7.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Étape 8.8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 8.8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8.9

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.10

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Il y a une droite tangente sur $x = π + 2 π n$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = \frac{π}{2}$ et $b = \frac{3 π}{2}$ .

Il y a une droite tangente sur $x = π + 2 π n$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = \frac{π}{2}$ et $b = \frac{3 π}{2}$

Étape 10