Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $16 x^{2} - 9$ par $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $16$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + 0)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.8.1

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.3.8.2

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x \cdot x}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x^{1})}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{1 + 1}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{2}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $32 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$2 \frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $2$ et $\frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 16 x^{2} - 9)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 16 x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$\frac{- 32 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x^{2} - 18}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 32 x^{2} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 32$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + 0) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $- 64 x$ et $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 (16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + 0))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.7.1

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.7.2

Déplacez $32$ à gauche de $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) (32 \cdot (16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.4.7.3

Multipliez $32$ par $- 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 64 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 64 {(16 x^{2} - 9)}^{2} x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez ${(16 x^{2} - 9)}^{2}$ comme $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 64 ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3

Développez $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2} - 9) - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 (x^{2} x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2 + 2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $16$ par $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.4

Multipliez $- 9$ par $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.5

Multipliez $16$ par $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.2

Soustrayez $144 x^{2}$ de $- 144 x^{2}$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 288 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 64 (256 x^{4}) - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.6.1

Multipliez $256$ par $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 288$ par $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.3

Multipliez $- 64$ par $81$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 5184) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16384 x^{4} x + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 16384 (x \cdot x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 16384 (x^{1} x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16384 x^{1 + 4} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x \cdot x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x^{1} x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{1 + 2} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 32$ par $- 64$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 64$ par $- 18$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.10.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x \cdot x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x^{1} x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{1 + 2} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11

Développez $(2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3} - 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{2} x^{3} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 (x^{3} x^{2}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{3 + 2} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $2048$ par $16$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{2} x + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x \cdot x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.12.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x^{1} x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{1 + 2} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.6

Multipliez $2048$ par $- 9$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.7

Multipliez $16$ par $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.8

Multipliez $- 9$ par $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.2

Additionnez $- 18432 x^{3}$ et $18432 x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 0 - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.3

Additionnez $32768 x^{5}$ et $0$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 16384 x^{5}$ et $32768 x^{5}$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $10368 x$ de $- 5184 x$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $64 x$ à partir de $16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $64 x$ à partir de $16384 x^{5}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.2

Factorisez $64 x$ à partir de $18432 x^{3}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.3

Factorisez $64 x$ à partir de $- 15552 x$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.4

Factorisez $64 x$ à partir de $64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2})$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.5

Factorisez $64 x$ à partir de $64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{64 x (256 {(x^{2})}^{2} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 256 \cdot - 243 = - 62208$ et dont la somme est $b = 288$ .

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Étape 2.5.4.4.1.1

Factorisez $288$ à partir de $288 u$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 (u) - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.1.2

Réécrivez $288$ comme $- 144$ plus $432$

$\frac{64 x (256 u^{2} + (- 144 + 432) u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{64 x (256 u^{2} - 144 u + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{64 x ((256 u^{2} - 144 u) + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{64 x (16 u (16 u - 9) + 27 (16 u - 9))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $16 u - 9$ .

$\frac{64 x ((16 u - 9) (16 u + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{64 x ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 3^{2}) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.5.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Étape 2.5.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{((4 x + 3) (4 x - 3))}^{4}}$

Étape 2.5.5.4

Appliquez la règle de produit à $(4 x + 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Étape 2.5.6

Annulez le facteur commun à $4 x + 3$ et ${(4 x + 3)}^{4}$ .

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Étape 2.5.6.1

Factorisez $4 x + 3$ à partir de $64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Étape 2.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.6.2.1

Factorisez $4 x + 3$ à partir de ${(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Étape 2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Étape 2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Étape 2.5.7

Annulez le facteur commun à $4 x - 3$ et ${(4 x - 3)}^{4}$ .

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Étape 2.5.7.1

Factorisez $4 x - 3$ à partir de $(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Étape 2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.7.2.1

Factorisez $4 x - 3$ à partir de ${(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Étape 2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Étape 2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(64 x) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{64 x (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$