Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{1}{4} \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4} \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{2 (2)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{\cos (2 x)}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.2

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.2.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (2 x) \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$f'' (x) = \sin (2 x)$