Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{x} + e^{- x} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int e^{- x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int - e^{u} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - (e^{u} + C))$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{u}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$