Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Étape 4

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Étape 6

Développez $(x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.5

Simplifiez

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int x + 2 - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.10

Déplacez $2$ .

$\int x - 4 x^{- 2} + 2 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$