Calcul infinitésimal Exemples

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Étape 1

Écrivez $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 6.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 8.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 9

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 9.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 10

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}} + C)$

Étape 14

Simplifiez

$2 e^{u_{2}} + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2}$ .

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$