Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Étape 1

Écrivez $2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Étape 10

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 \int x d x + \int 9 d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Étape 13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$