Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.6.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

Étape 3.8

Additionnez $15$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $6$ et $15$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

Étape 5

Évaluez la limite de $\frac{2}{5}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2}{5}$