Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\sqrt{x})}{x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\sqrt{x})}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.11

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.12

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.15.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.15.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.15.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{2 x}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x (2 x)}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x \cdot x}$

Étape 5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x)}$

Étape 5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})}$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{1 + 1}}$

Étape 5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0$