Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Étape 1.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $3$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 1.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $3$ retiré.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Étape 1.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Étape 1.3.2

Comme la fonction $e^{5 x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Étape 1.3.2.2

Comme l’exposant $5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{5 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 2 e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Étape 3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 3.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 3.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 3.6.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Étape 3.6.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Étape 3.6.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Étape 3.6.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Étape 3.7

Additionnez $0$ et $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{5 x}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{3}{10}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Étape 5

Comme l’exposant $- 4 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 4 x}$ approche de $0$ .

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $0$ .

$0$