Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ comme $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ .

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

Étape 1.2

Développez $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $j$ .

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $4 i i$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.6.1

Déplacez $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.6.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $8$ par $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.9

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.9.1

Déplacez $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.9.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.10

Multipliez $8$ par $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Étape 1.3.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

Étape 1.3.1.12

Multipliez $j$ par $j$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.12.1

Déplacez $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

Étape 1.3.1.12.2

Multipliez $j$ par $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

Étape 1.3.1.13

Multipliez $8$ par $8$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

Étape 1.3.2

Additionnez $16 i j^{2}$ et $16 i j^{2}$ .

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

Étape 1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ .

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $j$ .

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3

Remplacez à nouveau les valeurs et simplifiez $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.6

Multipliez $i$ par $1$ .

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.8

Multipliez $64$ par $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.11

Multipliez $4 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 3.1.11.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.11.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.13

Multipliez $4$ par $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.15

Multipliez $64$ par $4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.16

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.18

Multipliez $4 (9 \cdot - 1)$ .

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Étape 3.1.18.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.18.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.19

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.20

Multipliez $9$ par $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.21

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.22

Multipliez $64$ par $9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.23

Multipliez $4$ par $4^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.23.1

Déplacez $4^{2}$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.23.2

Multipliez $4^{2}$ par $4$ .

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Étape 3.1.23.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.23.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.24

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.25

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.26

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.27

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.28

Multipliez $16$ par $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

Étape 3.1.29

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

Étape 3.1.30

Multipliez $64$ par $16$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Additionnez $- 4$ et $64$ .

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $16$ de $60$ .

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $44$ et $256$ .

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $36$ de $300$ .

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $264$ et $576$ .

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2.5

Soustrayez $64$ de $840$ .

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

Étape 3.2.2.6

Additionnez $776$ et $1024$ .

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

Étape 3.2.3

Additionnez $32 i$ et $128 i$ .

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

Étape 3.2.4

Additionnez $160 i$ et $288 i$ .

$1800 + 448 i + 512 i$

Étape 3.2.5

Additionnez $448 i$ et $512 i$ .

$1800 + 960 i$